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Quantitative Methoden der EBWL

Fragen zu BWL-Einführungsvorlesungen
piccolo
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Quantitative Methoden der EBWL

Beitragvon piccolo » Sonntag 19. Dezember 2010, 16:35

Ich bin total verzweifelt, deshalb wende ich mich an euch, in der Hoffnung, dass ich hier Hilfe bekomme :(
Hatte die ganze letzte Woche eine ganz böse Magendarmgrippe, und war somit nicht in der Uni.
Bis jetzt hatten wir in Quani überwiegend Optimierungsmodelle (u.a. Simplextableaus).
Letzte Woche wurde etwas neues durchgenommen, was ich einfach nicht verstehe.
Wahrscheinlich ist es nicht so schwer, aber man muss ja erst mal drauf kommen :D

Ich schreib Mal 2 Aufgaben hier rein, und wäre sehr dankbar, wenn es Jemand erklären könnte!

Aufgabe 1
In dem beschaulichen Städtchen Homburg (Saar) ist es in letzter Zeit vermehrt zu Autodiebst-
ählen gekommen. Um die Verbrecher schneller zu fassen, plant die Polizei, mobile
Wachen einzurichten. Über das gesamte Stadtgebiet verteilt benden sich acht große
Parkplätze, die überwacht werden sollen. An jedem dieser Parkplätze kann eine mobile
Wache stationiert werden. Insgesamt soll eine schnelle Präsenz an allen Parkplätzen erreicht
werden. Unter schneller Präsenz wird eine Erreichbarkeit innerhalb von 5 Minuten
verstanden.
Die folgende Tabelle (Distanzmatrix) gibt die Fahrzeit (Distanz dij ) zwischen den Parkplätzen
in Minuten an:

dij 1 2 3 4 5 6 7 8
1 0 2 1 7 9 5 1 8
2 2 0 6 3 2 4 5 1
3 1 6 0 3 7 2 8 5
4 7 3 3 0 1 6 7 2
5 9 2 7 1 0 4 8 7
6 5 4 2 6 4 0 3 9
7 1 5 8 7 8 3 0 2
8 8 1 5 2 7 9 2 0

a) Erstellen Sie für das obige Problem eine Erreichbarkeitsliste, d.h. geben Sie für jeden
Parkplatz i die Menge Ni := {j | dji *kleinergleich* 5} an.
b) Formulieren Sie ein lineares Optimierungsmodell, welches die Anzahl der einzurichtenden
mobilen Wachen minimiert und jeder Parkplatz innerhalb von 5 Minuten
erreicht werden kann. (Eine Lösung ist nicht erforderlich!)
c) In Homburg gibt es zwei Polizeiwachen W1 und W2. Die Entfernung von den Poli-
zeiwachen zu den Parkplätzen ist in der folgenden Tabelle dargestellt.

dij 1 2 3 4 5 6 7 8
W1 3 8 9 2 1 4 7 7
W2 1 1 4 8 5 3 8 5

Wie kann der Eintrag dW2,2 = 1 interpretiert werden? In welcher Zeit ist Parkplatz
5 von Wache W2 aus zu erreichen?


Aufgabe 2
Ein Unternehmen möchte eine neue Produktionsanlage anschaffen. Nach längerer Planung
kommen zwei Anlagen in Frage, die sich allerdings hinsichtlich der Zahlungsreihen
unterscheiden. Die Zahlungsreihen sind in der folgenden Tabelle dargestellt.

Zeitpunkt t = 0 t = 1 t = 2 t = 3
Investition I1 −5.000 2.200 2.200 4.200
Investition I2 −4.000 2.000 2.000 3.200



a) Berechnen Sie die Kapitalwert C1
0 bzw. C2
0 für die beiden Investitionen. Legen Sie
Ihrer Berechnung einen einheitlichen Kalkulationszinssatz von i = 10% zugrunde.
Welche Investionsalternative ist würden Sie empfehlen?
b) Um wie viel müssten die Anschaffungsauszahlung der zweiten Maschine sinken
bzw. steigen, damit beide Maschinen gleich vorteilhaft sind?
c) Strukturieren Sie die vorliegende Entscheidungssituation unter Zuhilfenahme des
Grundmodells der Entscheidungstheorie.

Vielen Dank!

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Martin
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Re: Quantitative Methoden der EBWL

Beitragvon Martin » Sonntag 19. Dezember 2010, 18:30

Hi,
herzlich willkommen im Forum. Da Du ja in Bochum studierst, zunächst eine Bitte: Könntest Du eurer Skript verlinken, sofern es im Internet verfügbar ist?

Ich schreibe hier, wie ich es lösen würde - was jedoch nicht richtig sein muss.
Es wäre zudem cool, wenn Du Rückmeldung geben würdest.


Fange mal mit Aufgabe 2 an.
zu Aufgabe 2a)
    Sieh mal in dieses Skript der FH Münster. Dort wird auf Seite 6 der Kapitalwert erklärt.

    Man zinst zukünftige Zahlungseingänge mit dem gegebenen Zinssatz ab und addiert alle Werte. Die Abzinsungen müssen sich auf den Anfangszeitpunkt t=0 beziehen.

    Für Investition 1:
    C1= -5000 + 2200/(1,10^1) + 2200/(1,10^2) + 4200/(1,10^3)
    C1= -5000 + 2000 + 1818,18 + 3155,52
    C1= -5000 + 6973,70
    C1= 1973,70 [GE]

    Für Investition 2:
    C2= -4000 + 2000/(1,10^1) + 2000/(1,10^2) + 3200/(1,10^3)
    C2= -4000 + 5875,28
    C2= 1875,28 [GE]

    C1 > C2, daher ist Investitionsalternative 1 vorzuziehen.
zu Aufgabe 2b)
    Die Anfangsauszahlung von C2 ist x. Damit man beiden Investitionsalternativen indifferent gegenübersteht, müsste gelten:

    C1 = C2
    1973,70 = x + 5875,28
    x= 3901,58 [GE]

    Wenn also die Anfangsauszahlung für Investition 2 um 98,42 GE niedriger wäre (98,42 = 4000,00 - 3901,58), wären beide Maschinen gleich vorteilhaft.
zu Aufgabe 2c)
    Hier kann der Artikel zur Entscheidungstheorie auf Wikipedia weiterhelfen.
    In der Aufgabe gibt es keine Hinweise auf Unsicherheiten. Man wendet ein deterministisches Entscheidungsmodell (Entscheidung unter Sicherheit) an.
    Dieses ist eindimensional, denn es geht nur um die Zielgröße "Kapitalwert". Dieser soll maximal sein. Man strukturiert, indem man zunächst die Alternativen nennt (Produktionsanlage 1, Produktionsanlage 2). Dann werden die Umweltzustände aufgezählt (Zuflüsse). Zuletzt rechnet man wie in 2b) den Kapitalwert aus und entscheidet sich für Alternative 1.

zu Aufgabe 1)
    Hier geht es aus meiner Sicht erstmal darum, sich mit Matrizen anzufreunden. Also keine große Herausforderung. Falls Dir Matrizen nicht vertraut sind, empfehlen viele Leute das Buch von Dörsam, dass Du in den Mathe-Literaturtipps findest.

    Grundlegend zum Lesen von Matrizen gilt: Wenn es z.B. eine Matrix M_i,j gibt, meint
    i..Zeile
    j..Spalte

zu Aufgabe 1a)
    Hier soll einfach nur für jeden einzelnen Parkplatz (i=1..8) gezählt werden, wieviele andere Parkplätze (j) unter 5 Minuten weit weg liegen. Dabei berücksichtigt man natürlich nicht die Entfernung von Parkplatz zu sich selbst (d_ij=0).
    N1= 4
    N2= 6
    N3= 4
    N4= 4
    N5= 3
    N6= 5
    N7= 4
    N8= 4
zu Aufgabe 1b)
    Hier habe ich leider nur einen Ansatz:

    Zielfunktion:
    SUM N_i für i=1..8 --> min

    Zu den Nebenbedingungen:
    Es gibt nur 8 Parkplätze, es können also maximal 8 mobile Wachen errichtet werden (und mindestens 1):
    1 < N < 8. Das geht aber schon über das Summenzeichen in die Zielfunktion ein.
    Jeder Parkplatz soll innerhalb von 5 Minuten von der / den eingerichteten Wachen erreicht werden. Es setzt also für jeden Parkplatz i voraus, dass mindestens ein anderer Parkplatz j existiert, für den gilt: 0<N_i,j<= 5
    [Ni := {j | 0<N_i,j<= 5]>0

zu Aufgabe 1c)
    Hier geht es auch nur darum, eine Matrix lesen zu können. Die Matrix ist M_i,j ("M_{Wache}_{Parkplatznummer})". Wenn also dW2,2 gefragt wird, könnte man es wörtlich so formulieren: Wie groß ist die zeitliche Entfernung d des Parkplatzes "2" {j} von der "Wache 2" {i}. Ein Blick in die Matrix verrät es uns: 1 [min]. Mehr bedeutet dW2,2 = 1 nicht.

    Die zweite Frage lautet: In welcher Zeit ist Parkplatz 5 von Wache W2 aus zu erreichen? Formal ausgedrückt: M_i,j = M_W2,5 = ?
    Ein Blick in die Matrix verrät es uns: 5 [min].
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